每日一题[3466]简化函数

2024年高考天津卷#15

若函数 $f(x)=2\sqrt{x^2-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为_______．

答案    $\left(-\sqrt 3,-1\right)\cup\left(1,\sqrt 3\right)$．

解析    当 $a=0$ 时，有 $f(x)=2|x|-1$，有两个零点不符合题意．因此问题可以转化为函数 $f(x)=2\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-x}-|x-2|+1$ 有唯一零点，即 $g(x)=2\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-x}$ 与 $h(x)=|x-2|-1$ 的图象有唯一公共点，如图． 「

函数 $g(x)$ 的图象是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-x-\dfrac {y^2}4=0$ 的上半（$y\geqslant 0$）的部分，且渐近线的斜率为 $\pm\dfrac 2a$．

情形一     $0<a^2\leqslant 1$．此时双曲线渐近线斜率的绝对值大于 $1$，双曲线的左支和右支与 $h(x)$ 的图象分别有 $1$ 个公共点，不符合题意．

情形二     $1<a^2<3$．此时双曲线渐近线斜率的绝对值大于 $1$，双曲线的左支与 $h(x)$ 的图象有 $1$ 个公共点，双曲线的右支与 $h(x)$ 的图象没有公共点，符合题意．

情形三     $3\leqslant a^2\leqslant 4$．此时双曲线渐近线斜率的绝对值不小于 $1$，双曲线的左支和右支与 $h(x)$ 的图象分别有 $1$ 个公共点，不符合题意．

情形四     $a^2>4$．此时双曲线渐近线斜率的绝对值小于 $1$，联立双曲线的左支方程与直线 $y=-x+1$，可得 $$\left(\dfrac{1}{a^2}-\dfrac 14\right)x^2-\dfrac 12x-\dfrac 14=0,$$ 有 $2$ 个负实数解，不符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\sqrt 3,-1\right)\cup\left(1,\sqrt 3\right)$．