每日一题[3462]零点估计

2024年高考北京卷#20

设函数 $f(x)=x+k\ln (1+x)$（$k\ne 0$），直线 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$（$t>0$）处的切线．

1、当 $k=-1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

2、求证：$l$ 不经过 $(0,0)$；

3、当 $k=1$ 时，设点 $A(t,f(t))$（$t>0$），$C(0,f(t))$，$O(0,0)$，$B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点，$S_{\triangle ACO}$ 与 $S_{\triangle ABO}$ 分别表示 $\triangle ACO$ 与 $\triangle ABO$ 的面积．是否存在点 $A$ 使得 $2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO}$ 成立？若存在，这样的点 $A$ 有几个？ （参考数据：$1.09<\ln 3<1.10$，$1.60<\ln 5<1.61$，$1.94<\ln 7<1.95$）

解析

1、若 $k=-1$，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac x{1+x},$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-1,0)$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=1+\dfrac k{1+x},$$ 因此切线 $l$ 的方程为 $$y=t+k\ln (1+t)+\left(1+\dfrac k{1+t}\right)(x-t),$$ 即 $$y=\left(1+\dfrac k{1+t}\right)x+k\ln(1+t)-\dfrac{kt}{1+t},$$ 要证明切线 $l$ 不经过 $(0,0)$，只需要证明 $$\forall t>0,~\ln (1+t)\ne \dfrac{t}{1+t},$$ 事实上，根据对数函数的基本放缩，有 $$\ln x>1-\dfrac 1x\implies \ln(1+t)>1-\dfrac{1}{1+t}=\dfrac t{1+t},$$ 命题得证．

3、当 $k=1$ 时，切线方程为

$$y=\dfrac{2+t}{1+t}x+\ln (1+t)-\dfrac t{1+t},$$ 于是 $B\left(0,\ln(1+t)-\dfrac t{1+t}\right)$，$C\left(0,t+\ln(1+t)\right)$，从而 $\triangle ACO$ 与 $\triangle ABO$ 的面积之比为 $\dfrac{15}2$ 即 $$15\left(\ln(1+t)-\dfrac t{1+t}\right)-2(t+\ln(1+t))=0,$$ 也即 $$13\ln (1+t)-2t-\dfrac{15t}{1+t}=0,$$ 设函数 $g(x)=13\ln (1+x)-2x-\dfrac{15x}{1+x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(2x-1)(4-x)}{(1+x)^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,4\right)&4&(4,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\searrow&13\ln\dfrac 32-6&\nearrow&13\ln 5-20&\searrow&-\infty\\ \hline\end{array}$$ 而 $$\begin{split} g\left(\dfrac 12\right)&<h(0)=0,\\ g(4)&=13\ln 5-20>1.60\cdot 13-20>0,\\ g(24)&=25\ln 5-62.5<25\cdot 1.61<0,\end{split}$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点，从而符合条件的 $A$ 的个数为 $2$．