2024年高考北京卷#19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 $2$ 的正方形．过点 $(0,t)$（$t>\sqrt 2$）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 $ A,B$，过点 $A$ 和 $C(0,1)$ 的直线 $ AC $ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $ D$．
1、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；
2、若直线 $BD$ 的斜率为 $0$，求 $t$ 的值．
解析
1、根据题意，焦距和短轴长均为正方形的对角线长 $2\sqrt 2$，进而\[2\sqrt{a^2-b^2}=2b=2\sqrt 2,\]因此 $a=4$，$b=2$，所求方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$，离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2$．
2、题意即过椭圆短轴所在直线上的椭圆外一点 $P(0,t)$ 作斜率互为相反数的直线 $PB,PD$，其中 $B,D$ 均在椭圆上，且纵坐标相等．设 $PB$ 与椭圆交于不同于 $B$ 的另一点 $A$，满足 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $C(0,1)$．设 $A(x_1,y_2)$，$B(x_2,y_2)$，$D(-x_2,y_2)$，则根据截距坐标公式\[ \dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}=t,\quad \dfrac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1+x_2}=1,\]于是两式相乘，结合椭圆方程可得\[t=\dfrac{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2}{x_1^2-x_2^2}=\dfrac{x_1^2\cdot 2\left(1-\dfrac14x_1^2\right)-x_2^2\cdot 2\left(1-\dfrac14x_2^2\right)}{x_1^2-x_2^2}=2.\]