每日一题[3460]公共元素

2024年高考北京卷#15

设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合 $M=\{k\mid a_k=b_k,k\in\mathbb N^{\ast}\}$，给出下列四个结论：

① 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素；

② 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多有 $2$ 个元素；

③ 若 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多有 $3$ 个元素；

④ 若 $\{a_n\}$ 为递增数列，$\{b_n\}$ 为递减数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素．

其中正确的结论的序号是______．

答案    ①③④．

解析    对于命题 ①，点列 $(n,a_n),(n,b_n)$ 分别在直线 $l_a,l_b$ 上，由于两条直线至多有一个公共点，因此 $M$ 中最多一个元素，命题正确；

对于命题 ②，取 $a_n=2^n$，$b_n=(-2)^n$，则 $M$ 中有无数多个元素 $2k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），命题错误；

对于命题 ③，点列 $(n,a_n)$ 在直线 $l_a:f(x)=kx+m$ 上（$k\ne 0$），设数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$，$\Gamma_1:g_1(x)=p\cdot |q|^x$，$\Gamma_2:g_2(x)=- p\cdot |q|^x$，$p\ne 0$，$|q|\ne 0,1$，则 当 $q>0$ 时，点列 $(n,b_n)$ 在 $\Gamma_1$ 上； 当 $q<0$ 时，点列 $(n,b_n)$ 在 $\Gamma_1\cup \Gamma_2$ 上． 函数 $f(x)$ 与函数 $g_1(x),g_2(x)$ 其中之一单调性相同，而与另一个函数单调性相反．当单调性相同时，由于指数函数的凹凸性可得至多有 $2$ 个公共点；当单调性相反时，至多有 $1$ 个公共点．因此 $M$ 中最多有 $3$ 个元素，命题正确；

对于命题 ④，点列 $(n,a_n)$ 在单调递增的函数 $f(x)$ 的图象上（$k>0$），点列 $(n,b_n)$ 在单调递减的函数 $g(x)$ 的图象上，此时函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象至多有一个公共点，因此 $M$ 中最多有一个元素，命题正确．

综上所述，正确的命题为 ①③④．