2024年高考全国II卷#19
已知双曲线 C:x2−y2=m（m>0），点 P1(5,4) 在 C 上，k 为常数，0<k<1，按照如下方式次构点 Pn（n=2,3,⋯），过 Pn−1 斜率为 k 的直线与 C 的左支交于点 Qn−1，令 Pn 为 Qn−1 关于 y 轴的对称点，记 Pn 的坐标为 (xn,yn)．
1、若 k=12，求 x2,y2；
2、证明：数列 {xn−yn} 是公比为 1+k1−k 的等比数列；
3、设 Sn 为 △PnPn+1Pn+2 的面积，证明：对任意的正整数 n，Sn=Sn+1．
解析
1、因为 P1(5,4) 在双曲线 C 上，因此52−42=m⟹m=9.
根据题意有 P1(5,4)，P1Q1:y=12x+32，Q1(−3,0)，P2(3,0)，从而 x2=3，y2=0．
2、根据题意，有 Pn(xn,yn),Qn(−xn+1,yn+1),Pn+1(xn+1,yn+1，于是{x2n−y2n=9,x2n+1−y2n+1=9,yn+1−yn=k((−xn+1)−xn),⟹{(xn+yn)(xn−yn)=9,(xn+1+yn+1)(xn+1−yn+1)=9,k=yn−yn+1xn+xn+1,
因此1+k1−k⋅xn−ynxn+1−yn+1=1+yn−yn+1xn+xn+11−yn−yn+1xn+xn+1⋅xn−ynxn+1+yn+1=(xn+yn)+(xn+1−yn+1)(xn−yn)+(xn+1+yn+1)⋅xn−ynxn+1−yn+1=9+(xn−yn)(xn+1−yn+1)(xn−yn)(xn+1−yn+1)+9=1,
从而 xn+1−yn+1=1+k1−k⋅(xn−yn)，命题得证．
3、记 1+k1−k=p，x1−y1=2a0p，则 a0=12p 且 p>1，此时根据第 (2) 小题的结果，有xn−yn=2a0⋅pn,xn+yn=mxn−yn=m2a0⋅pn,
记 2b0=m2a0，且 q=1p，则 xn+yn=2b0⋅qn，进而xn=a0⋅pn+b0⋅qn,yn=−(a0⋅pn−b0⋅qn),
因此 △OPmPn（r∈N∗）的有向面积A(m,n)=−12(xmyn−xnym)=−12((a0pm+b0qm)(a0pn−b0qn)−(a0pn+b0qn)(a0pm−b0qm))=−a0b0(pn−m−qn−m),
因此Sn=|A(n,n+1)+A(n+1,n+2)−A(n,n+2)|=|a0b0(p−q)+a0b0(p−q)−a0b0(p2−q2)|=|a0b0(p−q)(2−(p+q))|=4mk3(k2−1)2,
为定值，命题得证．