2024年高考全国II卷#19
已知双曲线 $C: x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$，按照如下方式次构点 $P_n$（$n=2,3,\cdots$），过 $P_{n-1}$ 斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n,y_n\right)$．
1、若 $k=\dfrac 1 2$，求 $x_2,y_2$；
2、证明：数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\dfrac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
3、设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$．
解析
1、因为 $P_1(5,4)$ 在双曲线 $C$ 上，因此\[5^2-4^2=m\implies m=9.\]根据题意有 $P_1(5,4)$，$P_1Q_1:y=\dfrac 12x+\dfrac 32$，$Q_1(-3,0)$，$P_2(3,0)$，从而 $x_2=3$，$y_2=0$．
2、根据题意，有 $P_n(x_n,y_n),Q_n(-x_{n+1},y_{n+1}),P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1}$，于是\[\begin{cases} x_n^2-y_n^2=9,\\ x_{n+1}^2-y_{n+1}^2=9,\\ y_{n+1}-y_n=k((-x_{n+1})-x_n),\end{cases}\implies \begin{cases} (x_n+y_n)(x_n-y_n)=9,\\ (x_{n+1}+y_{n+1})(x_{n+1}-y_{n+1})=9,\\ k=\dfrac{y_n-y_{n+1}}{x_n+x_{n+1}},\end{cases}\] 因此\[\begin{split} \dfrac{1+k}{1-k}\cdot\dfrac{x_n-y_n}{x_{n+1}-y_{n+1}}&=\dfrac{1+\dfrac{y_n-y_{n+1}}{x_n+x_{n+1}}}{1-\dfrac{y_n-y_{n+1}}{x_n+x_{n+1}}}\cdot\dfrac{x_n-y_n}{x_{n+1}+y_{n+1}}\\ &=\dfrac{(x_n+y_n)+(x_{n+1}-y_{n+1})}{(x_n-y_n)+(x_{n+1}+y_{n+1})}\cdot\dfrac{x_n-y_n}{x_{n+1}-y_{n+1}}\\ &=\dfrac {9+(x_n-y_n)(x_{n+1}-y_{n+1})}{(x_n-y_n)(x_{n+1}-y_{n+1})+9}\\ &=1,\end{split}\]从而 $x_{n+1}-y_{n+1}=\dfrac{1+k}{1-k}\cdot (x_n-y_n)$，命题得证．
3、记 $\dfrac{1+k}{1-k}=p$，$x_1-y_1=2a_0p$，则 $a_0=\dfrac 1{2p}$ 且 $p>1$，此时根据第 $(2)$ 小题的结果，有\[x_n-y_n=2a_0\cdot p^n,\quad x_n+y_n=\dfrac{m}{x_n-y_n}=\dfrac {m}{2a_0\cdot p^n},\]记 $2b_0=\dfrac{m}{2a_0}$，且 $q=\dfrac 1p$，则 $x_n+y_n=2b_0\cdot q^n$，进而\[x_n=a_0\cdot p^n+b_0\cdot q^n,\quad y_n=-(a_0\cdot p^n-b_0\cdot q^n),\]因此 $\triangle OP_mP_{n}$（$r\in\mathbb N^{\ast}$）的有向面积\[\begin{split} A(m,n)&=-\dfrac 12\left(x_my_{n}-x_{n}y_m\right)\\ &=-\dfrac 12\left((a_0p^m+b_0q^m)(a_0p^{n}-b_0q^{n})-(a_0p^{n}+b_0q^{n})(a_0p^m-b_0q^m)\right)\\ &=-a_0b_0(p^{n-m}-q^{n-m}) ,\end{split}\] 因此\[\begin{split} S_n&=|A(n,n+1)+A(n+1,n+2)-A(n,n+2)|\\ &=|a_0b_0(p-q)+a_0b_0(p-q)-a_0b_0(p^2-q^2)|\\ &=|a_0b_0(p-q)(2-(p+q))|\\ &=\dfrac{4mk^3}{(k^2-1)^2},\end{split}\]为定值，命题得证．