2024年高考全国II卷#8
设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 1 8$
B．$\dfrac 1 4$
C．$\dfrac 1 2$
D．$1$
答案 C．
解析 $y=x+a$ 在 $x=-a$ 处变号，$y=\ln (x+b)$ 在 $x=-b+1$ 处变号，因此若 $f(x)\geqslant 0$，则\[-a=-b+1,\]从而\[a^2+b^2=(-b+1)^2+b^2=2b^2-2b+1\geqslant \dfrac 12,\]等号当 $b=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac 12$．