每日一题[3454]掩藏零点

2024年高考全国II卷#8

设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac 1 8$

B．$\dfrac 1 4$

C．$\dfrac 1 2$

D．$1$

答案    C．

解析    $y=x+a$ 在 $x=-a$ 处变号，$y=\ln (x+b)$ 在 $x=-b+1$ 处变号，因此若 $f(x)\geqslant 0$，则

$$-a=-b+1,$$ 从而 $$a^2+b^2=(-b+1)^2+b^2=2b^2-2b+1\geqslant \dfrac 12,$$ 等号当 $b=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac 12$．