每日一题[3451]暴力列举

2024年高考全国I卷#14

甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得 $1$ 分，数字小的人得 $0$ 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于 $2$ 的概率为 _______．

答案    $\dfrac 12$．

解析    不失一般性，固定乙的卡片顺序为 $2,4,6,8$，则甲的卡片顺序有 $4!=24$ 种，列举如下

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{顺序}&\text{得分}&\text{顺序}&\text{得分}&\text{顺序}&\text{得分}&\text{顺序}&\text{得分}&\text{顺序}&\text{得分}&\text{顺序}&\text{得分}\\ \hline 1,3,5,7&0&1,3,7,5&1&1,5,3,7&1&1,5,7,3&2&1,7,3,5&1&1,7,5,3&1 \\ \hline 3,1,5,7&1&3,1,7,5&2&3,5,1,7&2&3,5,7,1&3&3,7,1,5&2&3,7,5,1&2 \\ \hline 5,1,3,7&1&5,1,7,3&2&5,3,1,7&1&5,3,7,1&2&5,7,1,3&2&5,7,3,1&2 \\ \hline 7,1,3,5&1&7,1,5,3&1&7,3,1,5&1&7,3,5,1&1&7,5,1,3&2&7,5,3,1&2 \\ \hline \end{array}$$ 因此甲得分 $X$ 的分布列为 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline k&0&1&2&3\\ \hline P(X=k)&\dfrac1{24}&\dfrac{11}{24}&\dfrac{11}{24}&\dfrac{1}{24}\\ \hline\end{array}$$ 因此所求概率为 $\dfrac{11}{24}+\dfrac{1}{24}=\dfrac 12$．