每日一题[3450]解析丝带

2024年高考全国I卷#11

造型 $\propto$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分．已知 $C$ 过坐标原点 $O$，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 $-2$，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$（$a<0$）的距离之积为 $4$，则[[nn]]

A．$a=-2$

B．点 $(2\sqrt 2,0)$ 在 $C$ 上

C．$C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $1$

D．当点 $\left(x_0,y_0\right)$ 在 $C$ 上时，$y_0\leqslant\dfrac 4{x_0+2}$

答案    ABD．

解析    设 $C$ 上一点为 $(x,y)$，则

$$\sqrt{(x-2)^2+y^2}\cdot |x-a|=4,$$ 原点 $O(0,0)$ 满足该方程，因此 $a=-2$，选项 $\boxed{A}$ 正确．

曲线 $C:\left((x-2)^2+y^2\right)(x+2)^2=16$（$x>-2$），点 $(2\sqrt 2,0)$ 满足该方程，选项 $\boxed{B}$ 正确．

曲线 $C$ 的方程可以变形为

$$y^2=\dfrac{16}{(x+2)^2}-(x-2)^2$$ 注意到当 $x=2$ 时，$y^2=1$，取 $x=1.9$，可得 $$y^2=\dfrac{16}{3.9^2}-0.1^2>1\impliedby 16>3.9^2\cdot 1.01\impliedby 16>15.21\cdot 1.01,$$ 因此选项 $\boxed{C}$ 错误．

根据上面的变形，可得

$$y^2\leqslant \dfrac{16}{(x+2)^2},$$ 因此选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．