每日一题[3449]递增速度

2024年高考全国I卷#8

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，且当 $x<3$ 时，$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是（       ）

A．$f(10)>100$

B．$f(20)>1000$

C．$f(10)<1000$

D．$f(20)<10000$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$f(3)>f(2)+f(1)=3,$$ 且 $$f(10)>f(9)+f(8)>2f(8)+f(7)>\cdots>21f(3)+13f(2)>21\cdot 3+13\cdot 2=89,$$ 类似的，有 $$f(20)>2584f(3)+1597f(2)>2584\cdot 3+1597\cdot 2=10946>10000,$$ 其中系数为斐波那契数列的相邻两项 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline F_n&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55\\ \hline n&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline F_n&89&144&233&377&610&987&1597&2584&4181&6765\\ \hline \end{array}$$ 因此选项 $\boxed{B}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误．

取 $f(x)=F_{k+1}+2^{k-100}$（$x\in [k,k+1)$，$k\geqslant 3$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则有

$$f(10)=F_{11}+2^{-90}<100,$$ 选项 $\boxed{A}$ 错误．

取 $f(x)=2^k$（$x\in [k,k+1)$，$k\geqslant 3$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则有

$$f(10)=2^{10}=1024>1000,$$ 选项 $\boxed{C}$ 错误．

综上所述，只有选项 $\boxed{B}$ 正确．

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备注    函数 $f(x)$ 的递增速度越来越快，因此四个选项中选项 $\boxed{B}$ 成立的可能性最大．