每日一题[3446]分类计数

2024年高考全国甲卷（理科）#16

有 $6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中无放回地随机取 $3$ 次，每次取 $1$ 个球．设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不大于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为_______．

答案    $\dfrac 7{15}$．

解析    不妨设取出的三个球号码分别为 $a,b,c$，则

$$|m-n|\leqslant \dfrac 12\iff \left|\dfrac{a+b}2-\dfrac{a+b+c}3\right|\leqslant \dfrac 12\iff |a+b-2c|\leqslant 3,$$ 也即 $2c-3\leqslant a+b\leqslant 2c+3$．考虑到对称性，只需要考虑 $c=1,2,3$ 以及 $a<b$ 的情形． $c=1$ 时，$-1\leqslant a+b\leqslant 5$，$(a,b)=(2,3)$，为 $1$ 种可能； $c=2$ 时，$1\leqslant a+b\leqslant 7$，$(a,b)=(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4)$，为 $5$ 种可能； $c=3$ 时，$3\leqslant a+b\leqslant 9$，考虑反面，$(a,b)\ne (4,6),(5,6)$，为 $\dbinom 52-2=8$ 种可能； 综上所述，所求概率为 $$\dfrac{(1+5+8)\cdot 2\cdot 2}{6\cdot 5\cdot 4}=\dfrac{7}{15}.$$