每日一题[3445]等差与定点

2024年高考全国甲卷（理科）#12

已知 $b$ 是 $a,c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^2+y^2+4y-1=0$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|$ 的最小值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．$6$

答案    C．

解析    题中圆即 $C:x^2+(y+2)^2=5$，圆心为 $C(0,-2)$，半径为 $\sqrt 5$．因为 $a,b,c$ 成等差数列，所以 $a-2 b+c=0$，也即直线 $a x+b y+c=0$ 过 $P(1,-2)$，因此当 $PC\perp AB$ 时，$|AB|$ 取得最小值，此时有 $|PC|=1$，$|AB|=2\sqrt{5-|PC|^2}=4$．