每日一题[3444]正余弦定理

2024年高考全国甲卷(理科)#11

在 $\triangle ABC$ 中,内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$,若 $B=\dfrac{\pi}3$,$b^2=\dfrac 9 4 a c$,则 $\sin A+\sin C=$(       )

A.$\dfrac 32$

B.$\sqrt 2$

C.$\dfrac{\sqrt 7}2$

D.$\sqrt{3}2$

答案    C.

解析    不妨设 $b=1$,根据题意,有 $ac=\dfrac 49$,根据余弦定理,有\[\cos B=\dfrac 12\iff \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac 12\iff a^2+c^2=\dfrac{13}9,\]根据正弦定理,有\[\left(\dfrac{\sin A+\sin C}{\sin B}\right)^2=\dfrac{(a+c)^2}{b^2}=(a^2+c^2)+2ac=\dfrac73,\]从而\[\sin A+\sin C=\sqrt{\dfrac 73}\sin B=\dfrac{\sqrt 7}2.\]

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