每日一题[3441]随机徘徊

如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_n$．

1、求 $P\left(X_4=-2\right)$．

2、求 $E\left(X_n\right)$．

3、指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．

解析

1、设质点 $n$ 次移动中向右移动的次数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(n,\dfrac 1 2\right)$ 且 $X_n=Y-(n-Y)=2 Y-n$，于是 $$P\left(X_4=-2\right)=P(Y=1)=\dbinom 41\left(\dfrac 1 2\right)^1\left(\dfrac 1 2\right)^3=\dfrac 4{16}=\dfrac 1 4.$$

2、根据第一 $(1)$ 小题的结论，有 $$E\left(X_n\right)=2 E(Y)-n=2\left(n\cdot\dfrac 1 2\right)-n=0.$$

3、根据第 $(1)$ 小题的结论，有 $$P(Y=k)=\dbinom nk\left(\dfrac 1 2\right)^k\left(\dfrac 1 2\right)^{n-k}=\dfrac{1}{2^n}\dbinom nk.$$ 若 $n$ 为偶数，$\dbinom nk$ 中间的一项 $\dbinom n{\frac n2}$ 取得最大值，即 $Y=\dfrac n 2$ 概率最大，此时 $X_n=0$，所以质点最有可能位于位置 $0$； 若 $n$ 为奇数，$\dbinom nk$ 中间的两项 $\dbinom n{\frac{n-1}2},\dbinom n{\frac{n+1}2}$ 取得最大值，即 $Y=\dfrac{n+1}2$ 或 $Y=\dfrac{n-1}2$ 概率最大，此时 $X_n=1$ 或 $-1$，所以质点最有可能位于位置 $1$ 或 $-1$． 综上所述，当 $n$ 为偶数时，质点最有可能位于位置 $0$；当 $n$ 为奇数时，质点最有可能位置位置 $\pm 1$．