每日一题[3438]伪高次不等式

已知 $0<a<1$ 且 $a\neq\dfrac 1 2$，若函数 $f(x)=2\log_a x-\log_{2 a}x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)$

B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$

C．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$

D．$\left(0,\dfrac 1 4\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$

答案    D．

解析    函数 $f(x)=\left(\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln(2a)}\right)\ln x$，该函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，于是

$$\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{1}{\ln(2a)}<0\iff \dfrac{\ln(4a)}{\ln a\cdot \ln(2a)}<0,$$ 解得 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac14\right)\cup\left(\dfrac 12,1\right)$．