每日一题[3437]递进求和

如图所示数阵，第 $m(m\geqslant 1)$ 行共有 $m+1$ 个数，第 $m$ 行的第 $1$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{m-1}^0$，第 $2$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1$，第 $n$（$n\geqslant 3$）个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-3}$．规定：$\mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0=1$．

$$\begin{array}{ccccccc} \mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 1^1&&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 1^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 2^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 2^0&\mathop{\rm C}\nolimits_3^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^3&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^3&\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^6-\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^4\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}$$

1、试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论．

2、求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数．

3、从第 $1$ 行起，每一行最后一个数依次构成数列 $\left\{a_n\right\}$，设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否存在正整数 $k$，使得对任意正整数 $n$，$k S_n\leqslant 4^n-1$ 恒成立？如存在，请求出 $k$ 的最大值，如不存在，请说明理由．

解析

1、第 $m$ 行最后两个数之差

$$\begin{split} \Delta&=\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-3}\right)-\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-1}^m-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-1}^{m-2}\right)\\ &=\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-3}-\left(\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-1}+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m}\right)-\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-3}+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-2}\right)\right)\\ &=\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^{m-2}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2m-2}^m\\ &=0,\end{split}$$ 因此每一行的最后两个数大小相等．

2、第 $1$ 行所有数之和为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0+\mathop{\rm C}\nolimits_ 1^1=2$，第 $2$ 行的最后一个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0=3-1=2$，此时结论成立． 因为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ n^{k-1}+\mathop{\rm C}\nolimits_ n^k=C_{n+1}^k$，于是第 $m$（$m\geqslant 2$）行的 $m+1$ 个数之和为：

$$\begin{split}S_m=& \mathop{\rm C}\nolimits_ {m-1}^0+\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1+\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^0\right)+\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+2}^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+2}^1\right)+\cdots+\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^m-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^{m-2}\right)\\& =\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m-1}^0+\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^2+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^m\right)-\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^0+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+2}^1+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^{m-2}\right)\\& =\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ m^0+C_m^1+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^2+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^m\right)-\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+2}^0+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+2}^1+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^{m-2}\right)\\& =\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^1+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+1}^2+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^m\right)-\left(\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+3}^1+\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+3}^2+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m-1}^{m-2}\right)\\& =\cdots\\ &=\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m}^m-\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 m}^{m-2},\end{split}$$ 即第 $m+1$ 行倒数第二个数，结合第 $(1)$ 小题的结论，命题得证．

3、根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有

$$a_n=\dfrac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}-\dfrac{(2n-1)!}{(n-2)!(n+1)!}=\dfrac{(2n)!}{n!(n+1)!},$$ 于是 $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{4n+2}{n+2},$$ 而 $a_1=1$，也即 $\{a_n\}$ 的增长速度近似于公比为 $4$ 的等比数列． 一方面，由 $a_1=$ 可得 $k\leqslant 3$． 另一方面，由于 $\dfrac{4n+2}{n+2}<4$，因此 $S_n$ 不超过首项为 $1$ 公比为 $4$ 的等比数列的前 $n$ 项和，即 $$S_n\leqslant \dfrac 13(4^n-1)\iff 3S_n\leqslant 4^n-1.$$ 综上所述，正整数 $k$ 的最大值为 $3$．