每日一题[3435]三射线定理

如图，直三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $1$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=1$．

1、求证：$BC_1\perp A_1 C$．

2、求二面角 $B_1-A_1 C-B$ 的余弦值．

解析

1、根据题意，有 $BB_1CC_1\perp ABC$，又 $AB\perp BC$，于是 $AB\perp BCC_1B_1$，又 $A_1B_1\parallel AB$，因此 $A_1B_1\perp BCC_1B$，而 $BC_1$ 垂直于 $A_1C$ 在面 $BCC_1$ 上的投影 $B_1C$，因此根据三垂线定理，有 $BC_1\perp A_1C$．

2、根据题意，有 $AA_1=1$，进而 $A_1B=AC=\sqrt 5$，$A_1C=\sqrt 6$，$B_1C=\sqrt 2$，设二面角 $B_1-A_1C-B$ 的大小为 $\varphi$，根据三射线定理，有

$$\cos\angle B_1CB=\cos\angle B_1CA_1\cos\angle BCA_1+\sin\angle B_1CA_1\sin\angle BCA_1\cos\varphi,$$ 即 $$\dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt 6}+\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}\cdot\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 6}\cdot \cos\varphi,$$ 解得 $\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{10}}5$．