每日一题[3428]抛物线的参数方程

已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^2=x$ 的焦点为 $F$．$A,B$ 为 $C$ 上两点，$OA\perp AB$．当 $\angle AOF=45^{\circ}$ 时，$|AB|=$ [[nn]]；$3|FA|+|FB|$ 的最小值为 _______．

答案    $3\sqrt 2$；$7$．

解析    当 $\angle AOF=45^\circ$ 时，有 $A(1,1)$，设 $B(b^2,b)$，则直线 $AB$ 的斜率为 $\dfrac{1}{b+1}$，由 $OA\perp AB$ 可得 $b=-2$，从而

$$|AB|=\sqrt 2\cdot |1-b|=3\sqrt 2.$$ 设 $A(a^2,a)$，$B(b^2,b)$，则由 $OA\perp AB$ 可得 $$\dfrac 1a\cdot \dfrac 1{a+b}=-1\iff b=-\left(a+\dfrac 1a\right),$$ 于是 $$\begin{split} 3|FA|+|FB|&=3\left(a^2+\dfrac 14\right)+\left(b^2+\dfrac 14\right)\\ &=3a^2+b^2+1\\ &=3a^2+\left(a+\dfrac 1a\right)^2+1\\ &=4a^2+\dfrac{1}{a^2}+3\\ &\geqslant 7,\end{split}$$ 等号当 $a^2=1$ 时取得，因此所求最小值为 $7$．