每日一题[3427]高斯倒数函数

已知定义在区间 $[1,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\begin{cases}1,& 1\leqslant x<2,\\\dfrac{f(x-1)}{1+f(x-1)},& x\geqslant 2.\end{cases}$ 下列说法正确的有（       ）

A．$f(2024)=\dfrac 1{2024}$

B．当 $x>1$ 时，$\dfrac 1 x\leqslant f(x)<\dfrac 1{x-1}$

C．若 $f(x)\leqslant\dfrac k{x+1}$，则 $k$ 的最小值为 $2$

D．若 $f(x)\geqslant a^x$（$a>0$，$a\neq 1$），则 $a$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt[3] 9}3$

答案    ABD．

解析    根据题意，有 $f(x)=\dfrac{1}{[x]}$．

对于选项 $\boxed{A}$，有 $f(2024)=\dfrac{1}{[2024]}=\dfrac{1}{2004}$；

对于选项 $\boxed{B}$，由 $x-1<[x]\leqslant x$ 取倒数即得；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $k=2$ 时，考虑 $f\left(\dfrac32\right)=1$，而当 $x=\dfrac 32$ 时，$\dfrac{k}{x+1}=\dfrac 45$，不符合题意；

对于选项 $\boxed{D}$，根据题意，有

$$\forall k\in\mathbb N^{\ast},\dfrac 1k\geqslant a^k\iff \forall k\in\mathbb N^{\ast},\ln a\leqslant -\dfrac{\ln k}{k},$$ 根据$g(x)=-\dfrac{\ln x}{x}$的单调性以及$g(2)>g(3)$，可得$\ln a$的最大值为$g(3)=-\dfrac{\ln 3}3$，进而$a$的最大值为 $$\mathrm e^{-\frac{\ln 3}3}=\sqrt[3]{\dfrac 13}=\dfrac{\sqrt[3]9}3.$$