已知定义在区间 $[1,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\begin{cases}1,& 1\leqslant x<2,\\\dfrac{f(x-1)}{1+f(x-1)},& x\geqslant 2.\end{cases}$ 下列说法正确的有( )
A.$f(2024)=\dfrac 1{2024}$
B.当 $x>1$ 时,$\dfrac 1 x\leqslant f(x)<\dfrac 1{x-1}$
C.若 $f(x)\leqslant\dfrac k{x+1}$,则 $k$ 的最小值为 $2$
D.若 $f(x)\geqslant a^x$($a>0$,$a\neq 1$),则 $a$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt[3] 9}3$
答案 ABD.
解析 根据题意,有 $f(x)=\dfrac{1}{[x]}$.
对于选项 $\boxed{A}$,有 $f(2024)=\dfrac{1}{[2024]}=\dfrac{1}{2004}$;
对于选项 $\boxed{B}$,由 $x-1<[x]\leqslant x$ 取倒数即得;
对于选项 $\boxed{C}$,当 $k=2$ 时,考虑 $f\left(\dfrac32\right)=1$,而当 $x=\dfrac 32$ 时,$\dfrac{k}{x+1}=\dfrac 45$,不符合题意;
对于选项 $\boxed{D}$,根据题意,有\[\forall k\in\mathbb N^{\ast},\dfrac 1k\geqslant a^k\iff \forall k\in\mathbb N^{\ast},\ln a\leqslant -\dfrac{\ln k}{k},\]根据$g(x)=-\dfrac{\ln x}{x}$的单调性以及$g(2)>g(3)$,可得$\ln a$的最大值为$g(3)=-\dfrac{\ln 3}3$,进而$a$的最大值为\[\mathrm e^{-\frac{\ln 3}3}=\sqrt[3]{\dfrac 13}=\dfrac{\sqrt[3]9}3.\]