每日一题[3423]抛物线的阿基米德三角形

已知抛物线 $E: y=x^2$，过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A,B$ 两点，设抛物线 $E$ 在点 $A,B$ 处的切线分别为 $l_1$ 和 $l_2$，已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$．

1、证明：点 $P$ 在定直线上．

2、若 $\triangle PMN$ 面积为 $\sqrt 2$，求点 $P$ 的坐标．

3、若 $P,M,N,T$ 四点共圆，求点 $P$ 的坐标．

解析

1、设 $A(a,,a^2)$，$B(b,b^2)$，则直线 $AB:~y=(a+b)x-ab$，直线 $AB$ 过点 $T$，因此

$$(a+b)-ab=2,$$ 而由抛物线的切点弦方程可得 $P\left(\dfrac{a+b}2,ab\right)$，从而点 $P$ 恒在直线 $2x-y-2=0$ 上．

2、直线 $PA$ 的方程为 $y=2ax-a^2$，于是 $M\left(\dfrac 12a,0\right)$，类似的，$N\left(\dfrac 12b,0\right)$，记 $a+b=x$，$ab=x-2$，于是 $\triangle PMN$ 的面积

$$\begin{split} [\triangle PMN]&=\dfrac 12\cdot |MN|\cdot |y_P|\\ &=\dfrac 12\cdot \dfrac{|a-b|}2\cdot |ab|\\&=\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{x^2-4(x-2)}}{2}\cdot |x-2|,\end{split}$$ 从而由 $\triangle PMN$ 的面积为 $\sqrt 2$，解得 $x=0,4$，因此对应 $P$ 点的坐标为 $(0,-2)$ 或 $(2,2)$．

3、由于 $F\left(0,\dfrac 14\right)$，$\overrightarrow{MF}=\left(-\dfrac a2,\dfrac 14\right)$，$\overrightarrow{MP}=\left(\dfrac b2,ab\right)$，因此 $P,M,N,T$ 共以 $PF$ 为直径的圆，于是

$$\overrightarrow{FT}\cdot \overrightarrow{PT}=0\implies \left(1,\dfrac 74\right)\cdot \left(1-\dfrac{a+b}2,2-ab\right)=0,$$ 记 $a+b=x$，$ab=x-2$，可得 $$1-\dfrac x2+\dfrac 72-\dfrac 74(x-2)=0,$$ 解得 $x=\dfrac{32}9$，对应 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{16}9,\dfrac{14}9\right)$．