如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $ABB_1 A_1\perp~\text{底面}~ ABC$，$AB=BB_1=2$，$AC=2\sqrt 3$，$\angle B_1 BA=60^{\circ}$，点 $D$ 是棱 $A_1 B_1$ 的中点，$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BE}$，$DE\perp BC$．
1、证明：$AC\perp BB_1$．
2、求直线 $BB_1$ 与平面 $DEA_1$ 所成角的正弦值．
解析
1、连接 $DA$，则 $DA\perp BA$，于是 $DA\perp ABC$，从而 $DA\perp BC$，又 $DE\perp BC$，因此 $BC\perp ADE$，从而 $AE\perp BC$．
另一方面，有\[\begin{cases} \overrightarrow {AE}=\dfrac 34\overrightarrow{AB}+\dfrac 14\overrightarrow{AC},\\ \overrightarrow {BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow {AB},\end{cases}\]从而由 $DE\perp BC$，可得\[\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}=0\implies \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\]因此 $AB\perp AC$，从而由 $DA\perp AC$ 且 $BA\perp AC$ 可得 $AC\perp ABD$，因此 $AC\perp BB_1$．
2、建立空间直角坐标系 $A-BCD$，则有\[\begin{cases} A(0,0,0),\\ A_1(-1,0,\sqrt 3),\\ E\left(\dfrac 32,\dfrac{\sqrt 3}2,0\right),\\ D(0,0,\sqrt 3),\end{cases}\implies\begin{cases} \overrightarrow{AA_1}=\left(-1,0\sqrt 3\right),\\ \overrightarrow{A_1E}=\left(\dfrac 52,\dfrac{\sqrt 3}2,-\sqrt 3\right),\\ \overrightarrow{A_1D}=(-1,0,0),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{BB_1}=\left(-1,0,\sqrt 3\right),\\ \overrightarrow n_{DEA_1}=(0,2,1),\end{cases}\]从而所求正弦值为\[\dfrac{\left|\overrightarrow {BB_1}\cdot \overrightarrow n_{DEA_1}\right|}{\left|\overrightarrow{BB_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{DEA_1}\right|}=\dfrac{\sqrt 3}{2\cdot \sqrt 5}=\dfrac{\sqrt{15}}{10}.\]