如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 ABB1A1⊥ 底面 ABC，AB=BB1=2，AC=2√3，∠B1BA=60∘，点 D 是棱 A1B1 的中点，→BC=4→BE，DE⊥BC．
1、证明：AC⊥BB1．
2、求直线 BB1 与平面 DEA1 所成角的正弦值．
解析
1、连接 DA，则 DA⊥BA，于是 DA⊥ABC，从而 DA⊥BC，又 DE⊥BC，因此 BC⊥ADE，从而 AE⊥BC．
另一方面，有{→AE=34→AB+14→AC,→BC=→AC−→AB,
从而由 DE⊥BC，可得→AE⋅→BC=0⟹→AB⋅→AC=0,
因此 AB⊥AC，从而由 DA⊥AC 且 BA⊥AC 可得 AC⊥ABD，因此 AC⊥BB1．
2、建立空间直角坐标系 A−BCD，则有{A(0,0,0),A1(−1,0,√3),E(32,√32,0),D(0,0,√3),⟹{→AA1=(−1,0√3),→A1E=(52,√32,−√3),→A1D=(−1,0,0),⟹{→BB1=(−1,0,√3),→nDEA1=(0,2,1),
从而所求正弦值为|→BB1⋅→nDEA1||→BB1|⋅|→nDEA1|=√32⋅√5=√1510.