每日一题[3421]累次求最值

设 $A,B,C$ 是一个三角形的三个内角，则 $\cos A(3\sin B+4\sin C)$ 的最小值为_______．

答案    $-\dfrac{125\sqrt 3}{108}$．

解析    设题中代数式为 $m$，则 $$\begin{split} m&=\cos A\left(3\sin B+4\sin A\cos B+4\cos A\sin B\right)\\ &=\cos A\left((3+4\cos A)\sin A+4\sin A\cos B\right)\\ &\geqslant \cos A\cdot \sqrt{(3+\cos A)^2+(4\sin A)^2}\\ &=\cos A\cdot \sqrt{25+24\cos A}\\ &=-\sqrt{12\cdot t\cdot t\cdot \left(\dfrac{25}{12}-2t\right)}\\ &\geqslant -\sqrt{12\cdot \left(\dfrac{t+t+\left(\dfrac{25}{12}-2t\right)}{3}\right)^3}\\ &=-\dfrac{125\sqrt 3}{108} ,\end{split}$$ 其中 $t=-\cos A$，等号当 $t=\dfrac{25}{36}$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac{125\sqrt 3}{108}$．