每日一题[3420]纠缠函数

定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$，若 $g(x)-f(3-x)=2$，$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$，且 $g(-x+2)=-g(x+2)$，则下列说法中一定正确的是（       ）

A．$g(x+2)$ 为偶函数

B．$f^{\prime}(x+2)$ 为奇函数

C．函数 $f(x)$ 是周期函数

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2024}g(k)=0$

答案    BCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，由 $g(-x+2)=-g(x+2)$ 可得函数 $g(x)$ 关于点 $(2,0)$ 对称，因此 $g(x+2)$ 为奇函数，选项 $\boxed{A}$ 错误；

对于选项 $\boxed{B}$，由 $f'(x)=g'(x-1)$ 可得 $f(x)=g(x-1)+C$，其中 $C$ 为常数，进而由 $g(x)-f(3-x)=2$ 可得

$$g(x)-\left(g(2-x)+C\right)=2,$$ 令 $x=1$，可得 $C=-2$，因此 $g(x)=g(2-x)$，从而 $g(x)$ 关于 $x=1$ 对称．而 $f'(x+2)=g'(x+1)$，$g(x+1)$ 是偶函数，从而 $f'(x+2)$ 是奇函数；

对于选项 $\boxed{C}$，由于函数 $g(x)$ 关于直线 $x=1$ 和点 $(2,0)$ 对称，因此 $g(x)$ 是周期为 $4$ 的函数，进而 $f(x)$ 是周期函数；

对于选项 $\boxed{D}$，根据题意，有

$$\sum_{k=1}^{2024}g(k)=506\sum_{k=1}^4g(k)=0.$$

综上所述，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．