如图，在多面体 ABCDPQ 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠DAB=60∘，BC=2PQ=4AB=4，M 为 BC 的中点，PQ∥BC，PD⊥DC，QB⊥MD．
1、证明：∠ABQ=90∘．
2、若多面体 ABCDPQ 的体积为 152，求平面 PCD 与平面 QAB 夹角的余弦值．
解析
1、设 →AD=a，→AB=b，→AQ=c，则{PD⊥DC,QB⊥MD,⟹{(a−c)⊥a,(b−c)⊥(b−a),⟹{a2−a⋅c=0,b2−b⋅c+a⋅c−a⋅b=0,于是 a⋅c=1，进而 b⋅c=4=b2，因此 b⊥(b−c)，所以 ∠ABQ=90∘．
2、由于 QB⊥AB 且 QB⊥MD，于是 QB⊥ABCD，设 AD 的中点为 N，则 PMN⊥BC．
设 QB=x，则多面体 ABCDPQ 的体积为AD+BC+QP3⋅[△PMN]=152⟹4+4+23⋅12⋅√32⋅x=152,解得 x=3√3．平面 QAB 与平面 PMN 平行，平面 PCD 与平面 QMN 平行，因此只需要求二面角 P−MN−Q（大小记为 φ）的余弦值．根据三射线定理，有cos∠PMQ=cos∠PMNcos∠QMN+sin∠PMNsin∠QMNcosφ,而 △PDC 中，PD=√30，PC=√31；△PQM 中 PQ=2，PM=3√3，QM=PC=√31，因此 cos∠PMQ=3√3√31，cos∠PMN=0，cos∠QMN=1√30，代入解得 cosφ=3√1010．