每日一题[3415]截面椭圆

机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为 12 cm,开口直径为 8 cm.旅客使用纸杯暍水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于_______.

答案    31717

解析    如图,母线 DA=DC=12,开口直径 AC=8,于是DM=DA2AM2=12242=82,于是tanBAC=12DM34AC=223,

设母线 DA 截线 AB 与轴 DM 的夹角分别为 θ,φ,则 sinα=13,进而 cosα=223tanφ=322,进而 cosφ=2217,因此所求椭圆的离心率e=cosφcosθ=31717.

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