机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为 12 cm,开口直径为 8 cm.旅客使用纸杯暍水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于_______.
答案 3√1717.
解析 如图,母线 DA=DC=12,开口直径 AC=8,于是DM=√DA2−AM2=√122−42=8√2,于是tan∠BAC=12DM34AC=2√23,
设母线 DA 截线 AB 与轴 DM 的夹角分别为 θ,φ,则 sinα=13,进而 cosα=2√23,tanφ=32√2,进而 cosφ=2√2√17,因此所求椭圆的离心率e=cosφcosθ=3√1717.