每日一题[3415]截面椭圆

机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $12 ~{\rm cm}$，开口直径为 $8 ~{\rm cm}$．旅客使用纸杯暍水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于_______．

答案    $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$．

解析    如图，母线 $DA=DC=12$，开口直径 $AC=8$，于是

$$DM=\sqrt{DA^2-AM^2}=\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt 2,$$ 于是 $$\tan\angle BAC=\dfrac{\dfrac 12DM}{\dfrac 34AC}=\dfrac{2\sqrt 2}{3},$$

设母线 $DA$ 截线 $AB$ 与轴 $DM$ 的夹角分别为 $\theta,\varphi$，则 $\sin\alpha=\dfrac 13$，进而 $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt 2}3$，$\tan\varphi=\dfrac{3}{2\sqrt 2}$，进而 $\cos\varphi=\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt {17}}$，因此所求椭圆的离心率

$$e=\dfrac{\cos\varphi}{\cos\theta}=\dfrac{3\sqrt{17}}{17}.$$