每日一题[3411]双重命题

设集合 $M=\{1,-1\}$，$N=\{x\mid x>0~\text{且}~x\neq 1\}$，函数 $f(x)=a^x+\lambda a^{-x}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$），则（       ）

A．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为增函数

B．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为减函数

C．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为奇函数

D．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为偶函数

答案    D．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，取 $\lambda=1$ 可知命题错误；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $a$ 分别取 $2,\dfrac 12$ 时，对应 $f(x)$ 的增减性相反，命题错误；

对于选项 $\boxed{C}$，取 $\lambda=-1$ 可知命题错误；

对于选项 $\boxed{D}$，取 $\lambda=1$ 可知命题正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{D}$．