每日一题[3407]平均性质与参数方程

设抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$），直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点．过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线，交直线 $y=-2$ 于点 $M$．对任意 $k\in\mathbb R$，直线 $AM,AB,BM$ 的斜率成等差数列．

1、求 $C$ 的方程．

2、若直线 $l^{\prime}\parallel l$，且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$，证明：$\triangle AMN$ 的面积不小于 $2\sqrt 2$．

解析

1、设 $A(2pa,2pa^2)$，$B(2pb,2pb^2)$，则直线 $AB$ 的斜率 $k=a+b$，且根据抛物线的平均性质，有 $-2pab=2$ 即 $ab=-\dfrac 1p$，因此过原点 $O$ 与 $l$ 垂直的直线方程为 $x+ky=0$，从而 $M(2k,-2)$，因此直线 $AM,BM$ 的斜率之和为 $$k_{AM}+k_{BM}=2k\iff \dfrac{pa^2+1}{pa-k}+\dfrac{pb^2+1}{pb-k}=2k,$$ 也即 $$p^2ab(a+b)-pk(a^2+b^2)+p(a+b)-2k=2k(p^2ab-kp(a+b)+k^2),$$ 将 $a+b=k$，$ab=-\dfrac 1p$ 代入，可得 $$-pk-pk\left(k^2+\dfrac2p\right)+pk-2k=2k(-p-k^2p+k^2),$$ 也即 $$(p-2)(k^2+2)=0,$$ 因此 $p=2$，抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$．

2、根据题意，有 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$，其中 $ab=-\dfrac 12$，$N(2k,k^2)$，而 $M(2k,-2)$，因此 $\triangle AMN$ 的面积 $$\begin{split} [\triangle AMN]&=\dfrac 12\cdot (k^2+2)\cdot |4a-2k|\\ &=((a+b)^2+2)\cdot |a-b|\\ &=|a-b|^3\\ &=\left|a+\dfrac{1}{2a}\right|^3\\ &\geqslant 2\sqrt 2,\end{split}$$ 因此命题得证．