每日一题[3403]离心率的三角表示

已知 ABC 中,tanB2=3tanC2,双曲线 EB,C 为焦点,且经过点 A,则 E 的两条渐近线的夹角为_______;tanA2+tanC2 的取值范围为_______.

答案    π3(33,+)

解析    根据正弦定理,可得双曲线 E 的离心率e=sin(B+C)sinBsinC=2sinB+C2cosBC22cosB+C2sinBC2=sinB2cosC2+cosB2sinB2sinB2cosC2cosB2sinC2=tanB2+tanC2tanB2tanC2=2,

因此渐近线的倾斜角为 π3,2π3,两条渐近线的夹角为 π3. 设 tanC2=ttanB2=3t,则tanA2=1tan(B2+C2)=4t13t2,
其中 t(0,33),因此tanA2+tanC2=4t13t2+t=14t+t4>33,
所求取值范围是 (33,+)

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每日一题[3403]离心率的三角表示》有2条回应

  1. tuxu2024说:

    第二个行分子右边写错了

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