每日一题[3403]离心率的三角表示

已知 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac B2=3\tan\dfrac C2$，双曲线 $E$ 以 $B,C$ 为焦点，且经过点 $A$，则 $E$ 的两条渐近线的夹角为_______；$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac C2$ 的取值范围为_______．

答案    $\dfrac{\pi}3$；$\left(\dfrac{\sqrt 3}3,+\infty\right)$，

解析    根据正弦定理，可得双曲线 $E$ 的离心率\[ \begin{split} e&=\dfrac{\sin(B+C)}{\sin B-\sin C}\\ &=\dfrac{2\sin\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2}{2\cos\dfrac{B+C}2\sin\dfrac{B-C}2}\\ &=\dfrac{\sin\dfrac B2\cos\dfrac C2+\cos\dfrac B2\sin\dfrac B2}{\sin\dfrac B2\cos\dfrac C2-\cos\dfrac B2\sin\dfrac C2}\\ &=\dfrac{\tan\dfrac B2+\tan\dfrac C2}{\tan\dfrac B2-\tan\dfrac C2}\\ &=2,\end{split}\]因此渐近线的倾斜角为 $\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3$，两条渐近线的夹角为 $\dfrac{\pi}3$． 设 $\tan\dfrac C2=t$，$\tan\dfrac B2=3t$，则\[\tan\dfrac A2=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac B2+\dfrac C2\right)}=\dfrac{4t}{1-3t^2},\]其中 $t\in\left(0,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$，因此\[\tan\dfrac A2+\tan\dfrac C2=\dfrac{4t}{1-3t^2}+t=\dfrac1{4t}+\dfrac t4>\dfrac{\sqrt3}3,\]所求取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 3}3,+\infty\right)$．