已知 △ABC 中,tanB2=3tanC2,双曲线 E 以 B,C 为焦点,且经过点 A,则 E 的两条渐近线的夹角为_______;tanA2+tanC2 的取值范围为_______.
答案 π3;(√33,+∞),
解析 根据正弦定理,可得双曲线 E 的离心率e=sin(B+C)sinB−sinC=2sinB+C2cosB−C22cosB+C2sinB−C2=sinB2cosC2+cosB2sinB2sinB2cosC2−cosB2sinC2=tanB2+tanC2tanB2−tanC2=2,
因此渐近线的倾斜角为 π3,2π3,两条渐近线的夹角为 π3. 设 tanC2=t,tanB2=3t,则tanA2=1tan(B2+C2)=4t1−3t2,
其中 t∈(0,√33),因此tanA2+tanC2=4t1−3t2+t=14t+t4>√33,
所求取值范围是 (√33,+∞).
第二个行分子右边写错了
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