每日一题[3401]焦半径与切线

$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$，点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$，则 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac 1 2$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3$

C．$\dfrac{\sqrt 6}3$

D．$\dfrac{\sqrt 3}2$

答案    C．

解析    如图．

不妨设 $F_1$ 为椭圆的左焦点，设直线 $OQ$ 与 $x$ 轴交于点 $R$，$P$ 点坐标为 $(x_0,y_0)$，椭圆半焦距为 $c$，离心率为 $e$，则根据椭圆的切线方程，椭圆 $C$ 在点 $P$ 处的切线为

$$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1,$$ 于是直线 $OQ$ 的斜率为 $\dfrac{a^2y_0}{b^2x_0}$，进而 $R$ 点横坐标为 $e^2x_0$，因此结合椭圆的焦半径公式有 $$\dfrac{|RO|}{|RF_1|}=\dfrac{|OQ|}{|PF_1|}\implies \dfrac{e^2x_0}{e^2x_0+c}=\dfrac{b}{a+ex_0}\implies \dfrac{ex_0}{ex_0+a}=\dfrac{b}{a+ex_0}\implies ex_0=b,$$ 因此 $|PF_1|=a+b$，$|PF_2|=a-b$，而 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=0$，所以 $$|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies 2a^2=3c^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.$$