每日一题[3386]距离估计

使关于 $x$ 的方程 $\left\lfloor\dfrac{10^{n}}{x}\right\rfloor=2024$ 恰有 $2$ 个整数解的正整数 $n$ 值为（       ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．$8$

答案    C．

解析    题中方程即\[2024\leqslant \dfrac{10^n}{x}<2025\iff \dfrac{10^n}{2025}<x\leqslant \dfrac{10^n}{2024},\]因此\[1<\dfrac{10^n}{2024}-\dfrac{10^n}{2025}<3\iff 2024\cdot 2025<10^n<3\cdot 2024\cdot 2025,\]考虑到 $2024\cdot 2025=4.\cdots\times 10^6$，因此 $n=7$，此时\[\dfrac{10^n}{2024}-\dfrac{10^n}{2025}=\dfrac{10^7}{4.\cdots\times 10^6}=2.\cdots,\]因此原方程恰有 $2$ 个整数解，因此所求 $n$ 的值为 $7$．