每日一题[3384]配平均值

已知 $a, b, c$ 为正实数，满足 $a+b+c=1$，则 $a+\sqrt{b}+\sqrt[4]{c}$ 的最大值 $m$ 最接近（       ）

A．$1$

B．$\dfrac 54$

C．$\dfrac 32$

D．$\dfrac 74$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$1+\dfrac 14+3\cdot 4^{-\frac 43}=a+\left(b+\dfrac 14\right)+\left(c+4^{-\frac 43}+4^{-\frac 43}+4^{-\frac 43}\right)\geqslant a+b^{\frac 12}+c^{\frac 14},$$ 因此所求最大值为 $\dfrac 54+\dfrac 38\sqrt[3]2$，而 $$3<3\sqrt [3]2=\sqrt[3]{54}<4,$$ 从而 $$\dfrac {13}8<\dfrac 54+\dfrac 38\sqrt[3]2<\dfrac 74,$$ 因此选项 $\boxed{D}$ 正确．