每日一题[3382]嵌入最值

已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，则 $m=3 \sin A+4 \sin B+18 \sin C$ 的最大值为（       ）

A．$9\sqrt 7$

B．$\dfrac{35\sqrt 7}4$

C．$8\sqrt 7$

D．$\dfrac{31\sqrt 7}4$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} m&=3 \sin A+4 \sin B+18 \sin C\\ &=3\sin A+4\sin B+18\sin (A+B)\\ &=3\sin A+(4+18\cos A)\sin B+18\sin A\cos B\\ &\leqslant 3\sin A+\sqrt{(4+18\cos A)^2+(18\sin A)^2}\\ &=3\sin A+\sqrt{340+144\cos A},\end{split}$$ 设该函数为 $f(A)$，则其导函数 $$f'(A)=3\cos A-\dfrac{36\sin A}{\sqrt{85+36\cos A}},$$ 可得其最大值当 $\cos A=\dfrac 34$ 时取得，为 $\dfrac{35\sqrt 7}4$．

备注    根据嵌入不等式的推论三，有

$$3\sin A+4\sin B+18\sin C\leqslant \dfrac 1k\sqrt{(9+k)(16+k)(324+k)},$$ 其中 $\dfrac{9}{9+k}+\dfrac{16}{16+k}+\dfrac{324}{324+k}=1$．解得 $k=96$，于是所求最大值为 $\dfrac{35\sqrt 7}4$．