每日一题[3381]嵌入不等式

已知 $A, B, C$ 为 $\triangle ABC$ 内角，$x, y, z$ 为实数，以下三式中恒成立的个数为（       ）

$$\begin{split} & x^2+y^2+z^2- 2y z \sin A- 2z x \sin B+ 2x y \cos C\geqslant 0 ,\\ & x^2+y^2+z^2- 2 y z \sin A+ 2 z x \sin B- 2 x y \cos C\geqslant 0, \\ & x^2+y^2+z^2+ 2 y z \cos A+ 2 z x \cos B-2x y \cos C\geqslant 0. \end{split}$$

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

答案    D．

解析    根据题意，有 $A+B+C=\pi$，于是

$$\left(A-\dfrac{\pi}2\right)+\left(B-\dfrac{\pi}2\right)+\left(\pi-C\right)=\pi,$$ 且 $$\left(A-\dfrac{\pi}2\right)+\left(B+\dfrac{\pi}2\right)+C=\pi,$$ 且 $$\left(A-\pi\right)+\left(B+\pi\right)+C=\pi,$$ 应用于嵌入不等式即得三个不等式均成立．