每日一题[3378]二向箔

四面体 $ABCD$ 体积为 $6$，$AB\perp BC$，$BC\perp CD$，$AB=BC=CD=2 \sqrt{3}$，则异面直线 $AD$ 与 $BC$ 的夹角可能为（       ）

A．$\dfrac{\pi}6$

B．$\dfrac{\pi}4$

C．$\dfrac{\pi}3$

D．$\dfrac{\pi}2$

答案    BC．

解析    设异面直线 $AB$ 和 $CD$ 的夹角为 $\theta$，则它们的距离为 $BC=2\sqrt 3$，根据四面体的体积公式，有

$$\dfrac 16\cdot AB\cdot CD\cdot BC\cdot \sin\theta=6\iff \theta=\dfrac{\pi}3,$$ 从而 $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\pm AB\cdot CD\cdot \cos\theta=\pm 6.$$ 而 $$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=BC^2=12,$$ 且 $$AD^2=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)^2=36+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=36\pm 2\cdot 6=48~\text{或}~24,$$ 因此异面直线 $AD$ 与 $BC$ 的夹角 $\varphi$ 满足 $$\cos\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}\right|}{AD\cdot BC}=\dfrac12~\text{或}~\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 从而 $\varphi=\dfrac{\pi}4$ 或 $\dfrac{\pi}3$．