每日一题[3377]内准圆性质

已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦距为 $4$，且经过点 $(\sqrt 2,\sqrt 3)$．

1、求 $C$ 的方程．

2、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，求 $|AB|$ 的取值范围．

3、已知点 $P$ 是 $C$ 上的动点，是否存在定圆 $O: x^2+y^2=r^2$（$r>0$），使得当过点 $P$ 能作圆 $O$ 的两条切线 $PM,PN$ 时（其中 $M,N$ 分别是两切线与 $C$ 的另一交点），总满足 $|PM|=|PN|$？若存在，求出圆 $O$ 的半径 $r$；若不存在，请说明理由．

解析

1、设双曲线的半焦距为 $c$，则 $$\begin{cases}2 c=4,\\\dfrac 2{a^2}-\dfrac 3{b^2}=1,\\a^2+b^2=c^2,\end{cases}\implies \begin{cases} a=1,\\ b=\sqrt 3,\\ c=2,\end{cases}$$ 因此曲线 $C$ 的方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$．

2、设直线方程为 $l:mx+ny=1$，化齐次联立可得 $$x^2-\dfrac{y^2}3=(mx+ny)^2,$$ 结合 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，可得 $$m^2+n^2=\dfrac 23.$$ 因此直线 $l$ 是圆 $x^2+y^2=\dfrac 32$ 的切线，故 $$\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}=\dfrac 23,$$ 进而 $$|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2=\dfrac 32\left(\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}\right)\cdot\left(|OA|^2+|OB|^2\right)\geqslant 6,$$ 等号当 $|OA|=|OB|$，即直线 $l:x=\dfrac{\sqrt 6}2$ 时取得，因此所求 $|AB|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 6,+\infty\right)$．

3、若符合题意的圆存在，则取 $P$ 点为 $(r,p)$（$p>0$），则此时根据 $|PM|=|PN|$ 可得 $$2r=2p\iff r=p,$$ 因此点 $(r,r)$ 在双曲线上，可得 $r=\dfrac{\sqrt 6}2$． 当 $r=\dfrac{\sqrt 6}2$ 时，根据第 $(2)$ 小题的结论，由 $PM,PN$ 均为圆 $x^2+y^2=\dfrac 32$ 的切线，因此 $$\angle POM=\angle PON=90^\circ,$$ 而直角三角形 $POM$ 与 $PON$ 中，有 $\angle OPM=\angle OPN$，因此这两个三角形全等，从而 $|PM|=|PN|$，符合题意． 综上所述，存在满足条件的圆，其半径 $r=\dfrac{\sqrt 6}2$．

备注    也可以在证明三角形 $OPM,OPN$ 全等后利用双曲线的对称性说明 $M,N$ 关于原点对称，进而解决问题．