已知 O 为坐标原点,双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为 4,且经过点 (√2,√3).
1、求 C 的方程.
2、若直线 l 与 C 交于 A,B 两点,且 →OA⋅→OB=0,求 |AB| 的取值范围.
3、已知点 P 是 C 上的动点,是否存在定圆 O:x2+y2=r2(r>0),使得当过点 P 能作圆 O 的两条切线 PM,PN 时(其中 M,N 分别是两切线与 C 的另一交点),总满足 |PM|=|PN|?若存在,求出圆 O 的半径 r;若不存在,请说明理由.
解析
1、设双曲线的半焦距为 c,则{2c=4,2a2−3b2=1,a2+b2=c2,⟹{a=1,b=√3,c=2,
因此曲线 C 的方程为 x2−y23=1.
2、设直线方程为 l:mx+ny=1,化齐次联立可得x2−y23=(mx+ny)2,
结合 →OA⋅→OB=0,可得m2+n2=23.
因此直线 l 是圆 x2+y2=32 的切线,故1|OA|2+1|OB|2=23,
进而|AB|2=|OA|2+|OB|2=32(1|OA|2+1|OB|2)⋅(|OA|2+|OB|2)⩾6,
等号当 |OA|=|OB|,即直线 l:x=√62 时取得,因此所求 |AB| 的取值范围是 [√6,+∞).
3、若符合题意的圆存在,则取 P 点为 (r,p)(p>0),则此时根据 |PM|=|PN| 可得2r=2p⟺r=p,
因此点 (r,r) 在双曲线上,可得 r=√62. 当 r=√62 时,根据第 (2) 小题的结论,由 PM,PN 均为圆 x2+y2=32 的切线,因此∠POM=∠PON=90∘,
而直角三角形 POM 与 PON 中,有 ∠OPM=∠OPN,因此这两个三角形全等,从而 |PM|=|PN|,符合题意. 综上所述,存在满足条件的圆,其半径 r=√62.
备注 也可以在证明三角形 OPM,OPN 全等后利用双曲线的对称性说明 M,N 关于原点对称,进而解决问题.