每日一题[3376]面积转换

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c,\triangle ABC$ 的面积为 $S$． 已知 $S=-\dfrac{\sqrt 3}4\left(a^2+c^2-b^2\right)$．

1、求 $B$．

2、若点 $D$ 在边 $AC$ 上，且 $\angle ABD=\dfrac{\pi}2$，$AD=2 DC=2$，求 $\triangle ABC$ 的周长．

解析

1、根据题意，有

$$S=-\dfrac{\sqrt 3}4\left(a^2+c^2-b^2\right)\iff \dfrac 12ac\sin B=-\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2ac\cos B\iff \tan B=-\sqrt 3,$$ 因此 $B=\dfrac{2\pi}3$．

2、由 $AD=2DC$ 可得

$$\implies [\triangle ABD]=2[\triangle CBD]\implies \dfrac 12\cdot AB\cdot BD\cdot \sin\angle ABD=2\cdot\dfrac 12\cdot BD\cdot BC\cdot \sin\angle DBC,$$ 从而 $AB=BC$，进而 $\triangle ABC$ 是底边长为 $3$，顶角为 $\dfrac{2\pi}3$ 的等腰三角形，其周长为 $3+2\sqrt 3$．