每日一题[3375]善意假设

已知曲线 $C$ 是平面内到定点 $F(0,-2)$ 与到定直线 $l: y=2$ 的距离之和等于 $6$ 的点的轨迹，若点 $P$ 在 $C$ 上，对给定的点 $T(-2,t)$，用 $m(t)$ 表示 $|PF|+|PT|$ 的最小值，则 $m(t)$ 的最小值为_______．

答案    $2$．

解析    根据题意，设 $l':x=-2$，进而

$$|PF|+|PT|\geqslant |PF|+d(P,l')\geqslant d(F,l')=2,$$ 等号当曲线 $C$ 与线段 $FQ$（其中 $Q(-2,2)$）有公共点时可以取得，事实上 $Q$ 恰好位于曲线 $C$ 上，也即等号当 $P,T$ 均位于 $(-2,-2)$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．

备注    曲线 $C$ 的轨迹方程为

$$\sqrt{x^2+(y+2)^2}+|y-2|=6,$$ 也即 $$x^2=\begin{cases} 60-20y,&y> 2,\\ 12+4y,&y\leqslant 2,\end{cases}$$ 因此曲线 $C$ 是抛物线 $x^2=60-2y$ 在 $y\in (2,3]$ 的部分（称为上支）和抛物线 $x^2=12+4y$ 在 $y\in [-3,2]$ 的部分（称为下支）组合而成的．