每日一题[3373]零点联谊

已知 $\alpha,\beta$ 是函数 $f(x)=3\sin\left(2 x+\dfrac{\pi}6\right)-2$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的两个零点，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ （       ）

A．$\dfrac 2 3$

B．$\dfrac{\sqrt 5}3$

C．$\dfrac{\sqrt{15}-2}6$

D．$\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 5}6$

答案    A．

解析    解方程 $f(x)=0$ 可得

$$2x+\dfrac{\pi}6=\arcsin\dfrac 23+2k\pi~\text{或}~2x+\dfrac{\pi}6=\pi-\arcsin\dfrac 23+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$ 即 $$x=\dfrac 12\arcsin\dfrac 23-\dfrac{\pi}{12}+k\pi~\text{或}~x=\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac 12\arcsin\dfrac 23+k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$ 于是 $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\left(\left(\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac 12\arcsin\dfrac 23\right)-\left(\dfrac 12\arcsin\dfrac 23-\dfrac{\pi}{12}\right)-\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 23\right)=\dfrac 23.$$