已知 $\alpha,\beta$ 是函数 $f(x)=3\sin\left(2 x+\dfrac{\pi}6\right)-2$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的两个零点，则 $\cos (\alpha-\beta)=$ （ ）
A．$\dfrac 2 3$
B．$\dfrac{\sqrt 5}3$
C．$\dfrac{\sqrt{15}-2}6$
D．$\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 5}6$
答案 A．
解析 解方程 $f(x)=0$ 可得\[2x+\dfrac{\pi}6=\arcsin\dfrac 23+2k\pi~\text{或}~2x+\dfrac{\pi}6=\pi-\arcsin\dfrac 23+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\]即\[x=\dfrac 12\arcsin\dfrac 23-\dfrac{\pi}{12}+k\pi~\text{或}~x=\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac 12\arcsin\dfrac 23+k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\]于是\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\left(\left(\dfrac{5\pi}{12}-\dfrac 12\arcsin\dfrac 23\right)-\left(\dfrac 12\arcsin\dfrac 23-\dfrac{\pi}{12}\right)-\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 23\right)=\dfrac 23.\]