每日一题[3372]均值比较

已知 $a=\dfrac 3 2$，$3^b=5$，$5^c=8$，则（       ）

A．$a<b<c$

B．$a<c<b$

C．$c<b<a$

D．$b<c<a$

答案    C．

解析    根据题意，有 $2a=3$，$2b={\log_3}{25}<3$，$2c={\log_5}64<3$，从而 $a$ 是三者中最大的． 接下来比较 $b,c$．考虑

$$\dfrac bc=\dfrac{\ln^2 5}{\ln 3\cdot \ln 8}>\dfrac{\ln^25}{\left(\dfrac{\ln 3+\ln 8}2\right)^2}=\dfrac{\ln^25}{\ln^2\sqrt{24}}>1,$$ 从而有 $c<b<a$．