每日一题[3369]绝对值不等式

若对任意整数 $x,y,z$，有

$$|a x+b y+c z|+|b x+c y+a z|+|c x+a y+b z|=|x|+|y|+|z|$$ 恒成立，则（       ）

A．$|a+b+c|=1$

B．$|a|+|b|+|c|=1$

C．$(a,b,c)$ 共有 $6$ 组

D．$(a,b,c)$ 共有 $10$ 组

答案    ABC．

解析    取 $(x,y,z)=(1,0,0)$，可得

$$|a|+|b|+|c|=1,$$ 分别令 $(x,y,z)=(1,1,1),(1,1,-1)$，可得 $$\sum_{\rm cyc}|a+b+c|=\sum_{\rm cyc}|a+b-c|=3,$$ 而 $|a+b+c|,|a+b-c|,|a-b+c|,|-a+b+c|$ 均不大于 $|a|+|b|+|c|$，因此它们均取值 $1$，从而 $a,b,c,-a,-b,-c$ 同号（$0$ 同时与正数和负数同号），这样就得到 $a,b,c$ 中有 $2$ 个为 $0$，剩下的一个为 $\pm 1$，从而 $(a,b,c)=(0,0,\pm 1)_{\rm cyc}$，共有 $6$ 组．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．