每日一题[3368]挖掘几何意义

已知函数 $f(x)=\sqrt{2 x^4-18 x^2+12 x+68}+x^2-x+1$，则（       ）

A．$f(x)$ 的最小值为 $8$

B．$f(x)$ 的最小值为 $9$

C．$f(x)$ 有 $2$ 个最小值点

D．$f(x)$ 仅有 $1$ 个最小值点

答案    BC．

解析    根据题意，有 $$\dfrac{f(x)}{\sqrt 2}=\sqrt{(x+3)^2+(x^2-5)^2}+\dfrac{x^2-x+1}{\sqrt 2},$$ 设抛物线 $C:y=x^2$，直线 $l:y=x-1$，则 $\dfrac{f(x)}{\sqrt 2}$ 表示抛物线 $C$ 上横坐标为 $x$ 的点 $P$ 到点 $A(-3,5)$ 和直线 $l$ 的距离之和（注意抛物线 $C$ 在直线 $l$ 上方），因此 $$\dfrac{f(x)}{\sqrt 2}=|AP|+d(P,l)\geqslant d(A,l)=\dfrac9{\sqrt 2},$$ 等号当 $P$ 位于点 $A$ 到直线 $l$ 的垂线段上时取得，因此 $f(x)$ 的最小值为 $9$，且有 $2$ 个最小值点．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．