每日一题[3363]级数与积分

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1 n\sin\dfrac{(2 k-1)\pi}{2 n}=$（       ）

A．$0$

B．$\dfrac 2{\pi}$

C．$2$

D．$2\pi$

答案    B．

解析    根据定积分的几何意义, 有 $$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sin \frac{(2 k-1) \pi}{2 n}=\int_0^1\sin(\pi x){ {\rm d}} x=-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Big|_0^1=\dfrac{2}{\pi}.$$