每日一题[3361]平方数不定方程

设 $a,b,c$ 为不同的正整数，且 $\sqrt{a+b},\sqrt{a+c},\sqrt{b+c}$ 是 $3$ 个连续整数，则 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值为（       ）

A．$1022$

B．$1297$

C．$2022$

D．$2097$

答案    B．

解析    由于 $$(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)\equiv 0\pmod 2,$$ 于是 $\sqrt{a+b},\sqrt{a+c},\sqrt{b+c}$ 为奇数、偶数、奇数，不妨设 $\sqrt{a+b}=2n-1$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）， $$\begin{cases} a+b=(2n-1)^2,\\ a+c=(2n)^2,\\ b+c=(2n+1)^2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2n(n-2),\\ b=2n^2+1,\\ c=2n(n+2),\end{cases}$$ 当 $n=3$ 时，$(a,b,c)=(6,19,30)$，此时 $a^2+b^2+c^2$ 最小，为 $1297$．