每日一题[3359]左右摇摆

在四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=1$，$BC=2$，$AB\perp BC$，$CD\perp BC$，且直线 $AB,CD$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}3$，则该四面体外接球的表面积可能是（       ）

A．$\dfrac{8\pi}3$

B．$\dfrac{16\pi}3$

C．$8\pi$

D．$16\pi$

答案    BC．

解析    建立空间直角坐标系 $B-CAy$，$B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，$A(0,1,0)$，不妨设 $D$ 在 $xOy$ 平面上方，则 $D\left(2,\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$ 或 $D\left(2,-\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$．注意到 $\triangle ABC$ 是直角三角形，因此该四面体外接球的球心在 $\triangle ABC$ 上的投影为斜边中点，设坐标为 $O\left(1,\dfrac 12,x\right)$，于是

$$|OB|=|OD|\iff \sqrt{1^2+\left(\dfrac 12\right)^2+x^2}=\sqrt{1^2+\left(\dfrac 12\pm\dfrac 12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2-x\right)^2},$$ 解得 $x=\dfrac{\sqrt 3}6$ 或 $x=\dfrac{\sqrt 3}2$，对应外接球的表面积为 $$4\pi\left(\dfrac 54+x^2\right)=\dfrac{16\pi}3~\text{或}~8\pi.$$