每日一题[3358]阿基米德三角形

已知曲线 $C: y=\dfrac 1 4 x^2+4$，点 $P\left(x_0,y_0\right)$，$PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，则（       ）

A．当 $x_0=y_0=1$ 时，直线 $AB$ 的方程为 $x-2 y+14=0$

B．当直线 $AB$ 的方程为 $y=9$ 时，$x_0=y_0=0$

C．当 $x_0^2+y_0^2=1$ 时，$\triangle PAB$ 面积的最小值为 $12\sqrt 3$

D．当 $x_0^2+y_0^2=1$ 时，$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $20\sqrt 5$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，直线 $AB$ 为极点 $P$ 对应的极线，方程为

$$\dfrac{y+y_0}2=\dfrac14x_0x+4\iff y=\dfrac 12x_0x+(8-y_0),$$ 将 $x_0=y_0=1$ 代入，可得直线 $AB$ 的方程为 $y=\dfrac 12x+7$ 即 $x-2y+14=0$，选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，将直线 $AB$ 的方程与极线方程对比，可得 $x_0=0$，$y_0=-1$，选项错误．

对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，抛物线方程 $C:x^2=4(y-4)$，对应的焦准距 $p=2$，设 $A,B$ 的坐标分别为 $(2a,4+a^2)$，$B(2b,4+b^2)$，则 $\triangle PAB$ 的面积

$$S=p^2|a-b|^3=\dfrac 12|a-b|^3,$$ 联立直线 $AB$ 与抛物线方程，可得 $$\dfrac14 x^2-\dfrac 12x_0x-(4-y_0)=0,$$ 因此 $$|2a-2b|=\dfrac{\sqrt{\frac 14x_0^2+(4-y_0)}}{\frac 14}\implies |a-b|=\sqrt{x_0^2-4y_0+16},$$ 因此 $$S=\dfrac 12|a-b|^3=\dfrac 12\left(-y_0^2-4y_0+17\right)^{\frac 32},$$ 其中 $y_0$ 的取值范围是 $[-1,1]$，因此 $S$ 的取值范围是 $\left[12\sqrt 3,20\sqrt 5\right]$，选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 均正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．