每日一题[3351]变化趋势

2024年中科大入学考试数学试卷 #3

设函数 $f(x)=a x^2+x+1-\mathrm e^x$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围是 _____．

答案    $\left(\dfrac 12,\mathrm e-2\right)$．

解析    即函数 $f(x)=\mathrm e^{-x}(ax^2+x+1)-1$ 在 $(0,1)$ 内有唯一零点，其导函数

$$f'(x)=x\mathrm e^{-x}\cdot \big(-ax+(2a-1)\big),$$ 设 $g(x)=-ax+(2a-1)$，注意到 $f(0)=0$，$f'(0)=0$，$g(0)=2a-1$，$g(1)=a-1$，$f(1)=(a+2)\mathrm e^{-1}-1$．

当 $a\leqslant \dfrac 12$ 时，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，不符合题意；

当 $\dfrac 12<a<\mathrm e-2$ 时，$f(1)<0$，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上先递增后递减，有唯一零点，符合题意；

当 $a\geqslant \mathrm e-2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上或者先递增后递减，或者单调递增，而 $f(1)\geqslant 0$，因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上没有零点，不符合题意．

综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,\mathrm e-2\right)$．