每日一题[3349]基础求和

2024年中科大入学考试数学试卷 #6

已知数列 $\left\{n^{10}\right\}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的前 $n$ 项和公式为 $S_n=c_0+c_1 n+c_2 n^2+\cdots+c_{11}n^{11}$，则 $c_{10}=$ _____．

答案    $1$．

解析    考虑

$$(k+1)^{m+1}-k^{m+1}=(m+1)\cdot k^{m}+\dfrac{m(m+1)}2k^{m-1}+\cdots+(m+1)\cdot k+1,$$ 于是 $$(n+1)^{m+1}-1=(m+1)\sum_{k=1}^nk^{m}+\dfrac{m(m+1)}2\sum_{k=1}^nk^{m-1}+\cdots+(m+1)\sum_{k=1}^nk+n,$$ 观察 $n^{m+1}$ 的系数，可得 $$1=(m+1)c_{m+1}\implies c_{m+1}=\dfrac{1}{m+1},$$ 观察 $n^m$ 的系数，有 $$m+1=(m+1)c_m+\dfrac{m(m+1)}2\cdot \dfrac 1m\implies c_m=\dfrac12,$$ 于是对数列 $\left\{n^m\right\}$，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 的前 $n$ 项和公式中的最高项（$n^{m+1}$ 项）系数为 $\dfrac1m$，次高项系数 $^{[1]}$ 为 $\dfrac 12$，常数项为 $0$ ${}^{[2]}$．

备注    

$[1]$ 此项系数与 $m$ 无关．

$[2]$ 当 $m=10$ 时，有

$$S_n=\dfrac5{66}n-\dfrac12n^3+n^5-n^7+\dfrac56n^{9}+\dfrac 12n^{10}+\dfrac1{11}n^{11}.$$