每日一题[3344]迭代放缩

将方程 $\tan x=x$ 的所有正根从小到大依次排列，设第 $n$ 个为 $r_n$．求证：对任意正整数 $n$，都有

$$0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{\left(n^2+n\right) \pi}.$$

解析    设 $f(x)=\tan x-x$，则

$$f(x+\pi)=\tan(x+\pi)-(x+\pi)=f(x)-\pi,\tag{1}$$ 于是 $f(x)$ 的图象是 $y=\tan x-x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的图象不断沿向量 $\left(\pi,-\pi\right)$ 移动得到的．由于 $f(x)$ 在 $\left(k\pi-\dfrac{\pi}2,k\pi+\dfrac{\pi}2\right)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）上有 $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1>0,$$ 于是 $f(x)$ 在每个区间上均单调递增，且 $f(k\pi)<0$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），因此 $r_k\in\left(k\pi,k\pi+\dfrac{\pi}2\right)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）．

左边不等式    由于 $r_n+\pi, r_{n+1}$ 均在 $f(x)$ 的单调递增区间 $\left((n+1)\pi,(n+1)\pi+\dfrac{\pi}2\right)$ 上，根据 $(1)$ 式，有

$$f(r_n+\pi)=f(r_n)-\pi=-\pi\implies r_n+\pi<r_{n+1},$$ 左边不等式得证．

右边不等式    由于

$$r_{n+1}-r_n-\pi<\tan(r_{n+1}-r_n-\pi)=\dfrac{\tan r_{n+1}-\tan r_n}{1+\tan r_{n+1}\tan r_n}=\dfrac{r_{n+1}-r_n}{1+r_nr_{n+1}},$$ 于是 $$(r_{n+1}-r_n)(1+r_nr_{n+1})-\pi(1+r_nr_{n+1})<r_{n+1}-r_n,$$ 从而 $$r_{n+1}-r_n<\dfrac{1+r_nr_{n+1}}{r_nr_{n+1}}\pi\implies r_{n+1}-r_n-\pi<\dfrac{\pi}{r_nr_{n+1}},$$ 因此只需要证明 $$r_nr_{n+1}>(n^2+n)\pi^2,$$ 根据左边不等式，有 $r_{n+1}>r_n+\pi$，于是只需要证明 $$(r_n+\pi)r_n>(n^2+n)\pi\iff r_n>n\pi,$$ 这显然成立，右边不等式得证．

综上所述，原不等式得证．

备注    $2024$ 年普特南数学竞赛题．可以将命题改造为 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$． $(1)$ 求证：$n\pi<r_n<n\pi+\dfrac{\pi}2$； $(2)$ 求证：$r_{n+1}-r_n-\pi>0$； $(3)$ 求证：$r_{n+1}-r_n-\pi<\dfrac{1}{(n^2+n)\pi}$．