每日一题[3343]柯西对齐

已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac 34$

B．$\dfrac 89$

C．$1$

D．$\dfrac 54$

答案    C．

解析    由柯西不等式可得

$$9xy=1\cdot \sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}\cdot 1\leqslant \sqrt{(9x^2-1)+1^2}\cdot \sqrt{1^2+(9y^2-1)}=9xy,$$ 等号当 $\dfrac{1}{\sqrt{9x^2-1}}=\dfrac{\sqrt{9y^2-1}}{1}$ 时取得，因此有 $$(9x^2-1)(9y^2-1)=1,$$ 进而 $$4x^2+y^2=\dfrac 49(9x^2-1)+\dfrac 19(9y^2-1)+\dfrac 59\geqslant 2\sqrt{\dfrac 49(9x^2-1)\cdot \dfrac 19(9y^2-1)}+\dfrac 59=1,$$ 等号当 $\dfrac 49(9x^2-1)= \dfrac 19(9y^2-1)$ 即 $(x,y)=\left(\dfrac{1}{\sqrt 6},\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)$ 时取得，因此所求最小值为 $1$．