每日一题[3338]小心分类

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$n\in\mathbb N^{\ast}$，则函数 $f(x)=[x[x]]$（$0\leqslant x\leqslant n$）的值域中的元素个数为_____；函数 $g(x)=[x[x[x]]]$（$0\leqslant x\leqslant 4$）的值域中的元素个数为_____．

答案    $\dfrac 12(n-1)(n-2)+2$；$19$．

解析    当 $x\in\mathbb N$ 时，$f(x)=x^2$，对应 $0,1,\cdots,n^2$； 当 $x\notin \mathbb N$ 时，设 $x=m+r$（$r\in (0,1)$），则

$$[x[x]]=[(m+r)m]=[m^2+mr],$$ 于是当 $1\leqslant m\leqslant n-1$ 时，把区间 $(0,1)$ 划分为 $m$ 份 $$\left(0,\dfrac 1m\right),\left[\dfrac 1m,\dfrac 2m\right),\cdots,\left[\dfrac{m-1}m,1\right),$$ 可得 $[x[x]]$ 的取值分别为 $m^2,m^2+1,\cdots,m^2+m-1$ 共 $m$ 个，因此函数 $f(x)=[x[x]]$（$0\leqslant x\leqslant n$）的值域中的元素个数按 $m$ 的取值分类，可得值域中的元素个数为 $$1+\sum_{m=1}^{n-1}m+1=\dfrac 12(n-1)(n-2)+2.$$ 进而有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&\left(2,2+\dfrac 12\right)&\left[2+\dfrac 12,3\right)&\left(3,3+\dfrac 13\right)&\left[3+\dfrac 13,3+\dfrac 23\right)&\left[3+\dfrac 23,4\right)\\ \hline [x[x]]&4&5&9&10&11\\ \hline x[x[x]]&(8,10)&\left[\dfrac{25}2,15\right)&(27,30)&\left[\dfrac{100}3,\dfrac{110}3\right)&\left[\dfrac{121}3,44\right)\\ \hline \text{计数}&2&3&3&4&4\\ \hline \end{array}$$ 再加上 $0,1^3,4^3$，共 $19$ 个．