每日一题[3337]排序重组

设 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$．

1、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}=a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，且 $2 S_{n+1}=S_n+2$．

① 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

② 已知首项为 $x_1$，公比 $q$ 满足 $|q|<1$ 的无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$，当 $n$ 无限增大时，其前 $n$ 项和无限趋近于常数 $\dfrac{x_1}{1-q}$，则称该常数为无穷等比数列 $\left\{x_n\right\}$ 的各项和．现从数列 $\left\{a_n\right\}$ 中抽取部分项构成无穷等比数列 $\left\{b_n\right\}$，且 $\left\{b_n\right\}$ 的各项和不大于 $\dfrac 1{15}$，求 $b_n$ 的最大值．

2、若 $\sqrt{a_n\cdot a_{n+2}}\geqslant a_{n+1}$ 对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都成立，试证明：$\left(a_1 a_{n+2}\right)^{\frac 12}\geqslant\left(a_2 a_3\cdots a_{n+1}\right)^{\frac 1 n}$．

解析

1、① 根据题意，有 $\{a_n\}$ 是正项等比数列，且

$$2S_{n+1}=S_n+2\implies \begin{cases} 2(a_1+a_2)=a_1+2,&\\ 2a_{n+1}=a_n,&n\geqslant 2,\end{cases}$$ 从而 $a_n=\left(\dfrac 12\right)^{n-1}$．

② 根据题意，$b_1=\left(\dfrac 12\right)^m$，$\{b_n\}$ 的公比 $q=\left(\dfrac 12\right)^t$，其中 $m,n\in\mathbb N$ 且 $t\geqslant 1$，有 $\{b_n\}$ 的各项和

$$\dfrac{b_1}{1-q}\leqslant \dfrac1{15}\iff \dfrac{\left(\frac 12\right)^m}{1-\left(\frac 12\right)^t}\leqslant \dfrac{1}{15}\iff \left(\dfrac 12\right)^m\leqslant \dfrac{1}{15}\left(1-\left(\frac 12\right)^t\right),$$ 因此当 $t=1$ 时，$m$ 取得最小值 $5$，此时 $b_n$ 的最大值为 $b_1=\dfrac{1}{32}$．

2、不妨设 $x_n=\ln a_n$，则 $x_{n+1}\leqslant \dfrac{x_n+x_{n+2}}2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），欲证明

$$\dfrac{x_1+x_{n+2}}2\geqslant \dfrac{x_2+\cdots+x_{n+1}}n.$$ 设 $\Delta_n=x_{n+1}-x_n$，则 $\{\Delta_n\}$ 是不减数列，且 $$x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta_k,$$ 因此欲证不等式即 $$x_1+\dfrac 12\sum_{k=1}^{n+1}\Delta_k\geqslant x_1+\dfrac 1n\sum_{k=1}^{n}((n+1-k)\Delta_k,$$ 也即 $$\sum_{k=1}^{n+1}\left(n\cdot \Delta_k\right)\geqslant \sum_{k=1}^n\left(2(n+1-k)\cdot \Delta_k\right).$$ 根据排序不等式，有 $$\sum_{k=1}^n\left((n+1-k)\cdot \Delta_k\right)\leqslant \sum_{k=1}^n\left(k\cdot \Delta_k\right),$$ 于是 $$\sum_{k=1}^n\left(2(n+1-k)\cdot \Delta_k\right)\leqslant \sum_{k=1}^n\left((n+1-k)\cdot \Delta_k\right)+\sum_{k=1}^n\left(k\cdot \Delta_k\right)=\sum_{k=1}^{n}\left((n+1)\cdot \Delta_k\right)\leqslant \sum_{k=1}^{n+1}\left(n\cdot \Delta_k\right),$$ 命题得证．